3.2486 \(\int \frac{A+B x}{(d+e x)^2 (a+b x+c x^2)^{5/2}} \, dx\)

Optimal. Leaf size=746 \[ \frac{e \sqrt{a+b x+c x^2} \left (-8 b c \left (B \left (5 a^2 e^4+3 a c d^2 e^2+2 c^2 d^4\right )+2 A c d e \left (9 a e^2+4 c d^2\right )\right )-16 c^2 \left (a B d e \left (2 c d^2-13 a e^2\right )-A \left (-8 a^2 e^4+9 a c d^2 e^2+2 c^2 d^4\right )\right )-2 b^3 e^2 \left (-3 a B e^2-10 A c d e+9 B c d^2\right )+4 b^2 c e \left (25 a A e^3-14 a B d e^2+3 A c d^2 e+10 B c d^3\right )+3 b^4 e^3 (3 B d-5 A e)\right )}{3 \left (b^2-4 a c\right )^2 (d+e x) \left (a e^2-b d e+c d^2\right )^3}+\frac{2 \left (c x \left ((2 c d-b e) \left (-2 b \left (-a B e^2+A c d e+2 B c d^2\right )+8 c \left (2 a A e^2-a B d e+A c d^2\right )+b^2 e (3 B d-5 A e)\right )+6 c e (b d-2 a e) (-2 a B e+A b e-2 A c d+b B d)\right )+\left (2 a c e+b^2 (-e)+b c d\right ) \left (-2 b \left (-a B e^2+A c d e+2 B c d^2\right )+8 c \left (2 a A e^2-a B d e+A c d^2\right )+b^2 e (3 B d-5 A e)\right )+6 a c e (2 c d-b e) (-2 a B e+A b e-2 A c d+b B d)\right )}{3 \left (b^2-4 a c\right )^2 (d+e x) \sqrt{a+b x+c x^2} \left (a e^2-b d e+c d^2\right )^2}+\frac{2 \left (-A \left (2 a c e+b^2 (-e)+b c d\right )+c x (-2 a B e+A b e-2 A c d+b B d)+a B (2 c d-b e)\right )}{3 \left (b^2-4 a c\right ) (d+e x) \left (a+b x+c x^2\right )^{3/2} \left (a e^2-b d e+c d^2\right )}+\frac{e^3 \left (5 A e (2 c d-b e)-B \left (8 c d^2-e (2 a e+3 b d)\right )\right ) \tanh ^{-1}\left (\frac{-2 a e+x (2 c d-b e)+b d}{2 \sqrt{a+b x+c x^2} \sqrt{a e^2-b d e+c d^2}}\right )}{2 \left (a e^2-b d e+c d^2\right )^{7/2}} \]

[Out]

(2*(a*B*(2*c*d - b*e) - A*(b*c*d - b^2*e + 2*a*c*e) + c*(b*B*d - 2*A*c*d + A*b*e - 2*a*B*e)*x))/(3*(b^2 - 4*a*
c)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*(d + e*x)*(a + b*x + c*x^2)^(3/2)) + (2*(6*a*c*e*(2*c*d - b*e)*(b*B*d - 2*A*c*d + A
*b*e - 2*a*B*e) + (b*c*d - b^2*e + 2*a*c*e)*(b^2*e*(3*B*d - 5*A*e) + 8*c*(A*c*d^2 - a*B*d*e + 2*a*A*e^2) - 2*b
*(2*B*c*d^2 + A*c*d*e - a*B*e^2)) + c*(6*c*e*(b*d - 2*a*e)*(b*B*d - 2*A*c*d + A*b*e - 2*a*B*e) + (2*c*d - b*e)
*(b^2*e*(3*B*d - 5*A*e) + 8*c*(A*c*d^2 - a*B*d*e + 2*a*A*e^2) - 2*b*(2*B*c*d^2 + A*c*d*e - a*B*e^2)))*x))/(3*(
b^2 - 4*a*c)^2*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^2*(d + e*x)*Sqrt[a + b*x + c*x^2]) + (e*(3*b^4*e^3*(3*B*d - 5*A*e) - 2*
b^3*e^2*(9*B*c*d^2 - 10*A*c*d*e - 3*a*B*e^2) + 4*b^2*c*e*(10*B*c*d^3 + 3*A*c*d^2*e - 14*a*B*d*e^2 + 25*a*A*e^3
) - 16*c^2*(a*B*d*e*(2*c*d^2 - 13*a*e^2) - A*(2*c^2*d^4 + 9*a*c*d^2*e^2 - 8*a^2*e^4)) - 8*b*c*(2*A*c*d*e*(4*c*
d^2 + 9*a*e^2) + B*(2*c^2*d^4 + 3*a*c*d^2*e^2 + 5*a^2*e^4)))*Sqrt[a + b*x + c*x^2])/(3*(b^2 - 4*a*c)^2*(c*d^2
- b*d*e + a*e^2)^3*(d + e*x)) + (e^3*(5*A*e*(2*c*d - b*e) - B*(8*c*d^2 - e*(3*b*d + 2*a*e)))*ArcTanh[(b*d - 2*
a*e + (2*c*d - b*e)*x)/(2*Sqrt[c*d^2 - b*d*e + a*e^2]*Sqrt[a + b*x + c*x^2])])/(2*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^(7/2
))

________________________________________________________________________________________

Rubi [A]  time = 1.55752, antiderivative size = 744, normalized size of antiderivative = 1., number of steps used = 5, number of rules used = 4, integrand size = 27, \(\frac{\text{number of rules}}{\text{integrand size}}\) = 0.148, Rules used = {822, 806, 724, 206} \[ \frac{e \sqrt{a+b x+c x^2} \left (-8 b c \left (B \left (5 a^2 e^4+3 a c d^2 e^2+2 c^2 d^4\right )+2 A c d e \left (9 a e^2+4 c d^2\right )\right )-16 c^2 \left (a B d e \left (2 c d^2-13 a e^2\right )-A \left (-8 a^2 e^4+9 a c d^2 e^2+2 c^2 d^4\right )\right )-2 b^3 e^2 \left (-3 a B e^2-10 A c d e+9 B c d^2\right )+4 b^2 c e \left (25 a A e^3-14 a B d e^2+3 A c d^2 e+10 B c d^3\right )+3 b^4 e^3 (3 B d-5 A e)\right )}{3 \left (b^2-4 a c\right )^2 (d+e x) \left (a e^2-b d e+c d^2\right )^3}+\frac{2 \left (c x \left ((2 c d-b e) \left (-2 b \left (-a B e^2+A c d e+2 B c d^2\right )+8 c \left (2 a A e^2-a B d e+A c d^2\right )+b^2 e (3 B d-5 A e)\right )+6 c e (b d-2 a e) (-2 a B e+A b e-2 A c d+b B d)\right )+\left (2 a c e+b^2 (-e)+b c d\right ) \left (-2 b \left (-a B e^2+A c d e+2 B c d^2\right )+8 c \left (2 a A e^2-a B d e+A c d^2\right )+b^2 e (3 B d-5 A e)\right )+6 a c e (2 c d-b e) (-2 a B e+A b e-2 A c d+b B d)\right )}{3 \left (b^2-4 a c\right )^2 (d+e x) \sqrt{a+b x+c x^2} \left (a e^2-b d e+c d^2\right )^2}+\frac{2 \left (-A \left (2 a c e+b^2 (-e)+b c d\right )+c x (-2 a B e+A b e-2 A c d+b B d)+a B (2 c d-b e)\right )}{3 \left (b^2-4 a c\right ) (d+e x) \left (a+b x+c x^2\right )^{3/2} \left (a e^2-b d e+c d^2\right )}-\frac{e^3 \left (-B e (2 a e+3 b d)-5 A e (2 c d-b e)+8 B c d^2\right ) \tanh ^{-1}\left (\frac{-2 a e+x (2 c d-b e)+b d}{2 \sqrt{a+b x+c x^2} \sqrt{a e^2-b d e+c d^2}}\right )}{2 \left (a e^2-b d e+c d^2\right )^{7/2}} \]

Antiderivative was successfully verified.

[In]

Int[(A + B*x)/((d + e*x)^2*(a + b*x + c*x^2)^(5/2)),x]

[Out]

(2*(a*B*(2*c*d - b*e) - A*(b*c*d - b^2*e + 2*a*c*e) + c*(b*B*d - 2*A*c*d + A*b*e - 2*a*B*e)*x))/(3*(b^2 - 4*a*
c)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*(d + e*x)*(a + b*x + c*x^2)^(3/2)) + (2*(6*a*c*e*(2*c*d - b*e)*(b*B*d - 2*A*c*d + A
*b*e - 2*a*B*e) + (b*c*d - b^2*e + 2*a*c*e)*(b^2*e*(3*B*d - 5*A*e) + 8*c*(A*c*d^2 - a*B*d*e + 2*a*A*e^2) - 2*b
*(2*B*c*d^2 + A*c*d*e - a*B*e^2)) + c*(6*c*e*(b*d - 2*a*e)*(b*B*d - 2*A*c*d + A*b*e - 2*a*B*e) + (2*c*d - b*e)
*(b^2*e*(3*B*d - 5*A*e) + 8*c*(A*c*d^2 - a*B*d*e + 2*a*A*e^2) - 2*b*(2*B*c*d^2 + A*c*d*e - a*B*e^2)))*x))/(3*(
b^2 - 4*a*c)^2*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^2*(d + e*x)*Sqrt[a + b*x + c*x^2]) + (e*(3*b^4*e^3*(3*B*d - 5*A*e) - 2*
b^3*e^2*(9*B*c*d^2 - 10*A*c*d*e - 3*a*B*e^2) + 4*b^2*c*e*(10*B*c*d^3 + 3*A*c*d^2*e - 14*a*B*d*e^2 + 25*a*A*e^3
) - 16*c^2*(a*B*d*e*(2*c*d^2 - 13*a*e^2) - A*(2*c^2*d^4 + 9*a*c*d^2*e^2 - 8*a^2*e^4)) - 8*b*c*(2*A*c*d*e*(4*c*
d^2 + 9*a*e^2) + B*(2*c^2*d^4 + 3*a*c*d^2*e^2 + 5*a^2*e^4)))*Sqrt[a + b*x + c*x^2])/(3*(b^2 - 4*a*c)^2*(c*d^2
- b*d*e + a*e^2)^3*(d + e*x)) - (e^3*(8*B*c*d^2 - B*e*(3*b*d + 2*a*e) - 5*A*e*(2*c*d - b*e))*ArcTanh[(b*d - 2*
a*e + (2*c*d - b*e)*x)/(2*Sqrt[c*d^2 - b*d*e + a*e^2]*Sqrt[a + b*x + c*x^2])])/(2*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)^(7/2
))

Rule 822

Int[((d_.) + (e_.)*(x_))^(m_)*((f_.) + (g_.)*(x_))*((a_.) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2)^(p_), x_Symbol] :> Simp
[((d + e*x)^(m + 1)*(f*(b*c*d - b^2*e + 2*a*c*e) - a*g*(2*c*d - b*e) + c*(f*(2*c*d - b*e) - g*(b*d - 2*a*e))*x
)*(a + b*x + c*x^2)^(p + 1))/((p + 1)*(b^2 - 4*a*c)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)), x] + Dist[1/((p + 1)*(b^2 - 4*a*
c)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)), Int[(d + e*x)^m*(a + b*x + c*x^2)^(p + 1)*Simp[f*(b*c*d*e*(2*p - m + 2) + b^2*e^2
*(p + m + 2) - 2*c^2*d^2*(2*p + 3) - 2*a*c*e^2*(m + 2*p + 3)) - g*(a*e*(b*e - 2*c*d*m + b*e*m) - b*d*(3*c*d -
b*e + 2*c*d*p - b*e*p)) + c*e*(g*(b*d - 2*a*e) - f*(2*c*d - b*e))*(m + 2*p + 4)*x, x], x], x] /; FreeQ[{a, b,
c, d, e, f, g, m}, x] && NeQ[b^2 - 4*a*c, 0] && NeQ[c*d^2 - b*d*e + a*e^2, 0] && LtQ[p, -1] && (IntegerQ[m] ||
IntegerQ[p] || IntegersQ[2*m, 2*p])

Rule 806

Int[((d_.) + (e_.)*(x_))^(m_)*((f_.) + (g_.)*(x_))*((a_.) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2)^(p_.), x_Symbol] :> -Si
mp[((e*f - d*g)*(d + e*x)^(m + 1)*(a + b*x + c*x^2)^(p + 1))/(2*(p + 1)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)), x] - Dist[(b
*(e*f + d*g) - 2*(c*d*f + a*e*g))/(2*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)), Int[(d + e*x)^(m + 1)*(a + b*x + c*x^2)^p, x],
x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g, m, p}, x] && NeQ[b^2 - 4*a*c, 0] && NeQ[c*d^2 - b*d*e + a*e^2, 0] && EqQ[Sim
plify[m + 2*p + 3], 0]

Rule 724

Int[1/(((d_.) + (e_.)*(x_))*Sqrt[(a_.) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2]), x_Symbol] :> Dist[-2, Subst[Int[1/(4*c*d
^2 - 4*b*d*e + 4*a*e^2 - x^2), x], x, (2*a*e - b*d - (2*c*d - b*e)*x)/Sqrt[a + b*x + c*x^2]], x] /; FreeQ[{a,
b, c, d, e}, x] && NeQ[b^2 - 4*a*c, 0] && NeQ[2*c*d - b*e, 0]

Rule 206

Int[((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(-1), x_Symbol] :> Simp[(1*ArcTanh[(Rt[-b, 2]*x)/Rt[a, 2]])/(Rt[a, 2]*Rt[-b, 2]), x]
/; FreeQ[{a, b}, x] && NegQ[a/b] && (GtQ[a, 0] || LtQ[b, 0])

Rubi steps

\begin{align*} \int \frac{A+B x}{(d+e x)^2 \left (a+b x+c x^2\right )^{5/2}} \, dx &=\frac{2 \left (a B (2 c d-b e)-A \left (b c d-b^2 e+2 a c e\right )+c (b B d-2 A c d+A b e-2 a B e) x\right )}{3 \left (b^2-4 a c\right ) \left (c d^2-b d e+a e^2\right ) (d+e x) \left (a+b x+c x^2\right )^{3/2}}-\frac{2 \int \frac{\frac{1}{2} \left (-2 b B d \left (2 c d-\frac{3 b e}{2}\right )-2 a B e (4 c d-b e)+2 A \left (4 c^2 d^2-\frac{5 b^2 e^2}{2}-c e (b d-8 a e)\right )\right )-3 c e (b B d-2 A c d+A b e-2 a B e) x}{(d+e x)^2 \left (a+b x+c x^2\right )^{3/2}} \, dx}{3 \left (b^2-4 a c\right ) \left (c d^2-b d e+a e^2\right )}\\ &=\frac{2 \left (a B (2 c d-b e)-A \left (b c d-b^2 e+2 a c e\right )+c (b B d-2 A c d+A b e-2 a B e) x\right )}{3 \left (b^2-4 a c\right ) \left (c d^2-b d e+a e^2\right ) (d+e x) \left (a+b x+c x^2\right )^{3/2}}+\frac{2 \left (6 a c e (2 c d-b e) (b B d-2 A c d+A b e-2 a B e)+\left (b c d-b^2 e+2 a c e\right ) \left (b^2 e (3 B d-5 A e)+8 c \left (A c d^2-a B d e+2 a A e^2\right )-2 b \left (2 B c d^2+A c d e-a B e^2\right )\right )+c \left (6 c e (b d-2 a e) (b B d-2 A c d+A b e-2 a B e)+(2 c d-b e) \left (b^2 e (3 B d-5 A e)+8 c \left (A c d^2-a B d e+2 a A e^2\right )-2 b \left (2 B c d^2+A c d e-a B e^2\right )\right )\right ) x\right )}{3 \left (b^2-4 a c\right )^2 \left (c d^2-b d e+a e^2\right )^2 (d+e x) \sqrt{a+b x+c x^2}}+\frac{4 \int \frac{-\frac{1}{4} e \left (6 c e \left (b^2 d-8 a c d+2 a b e\right ) (b (B d+A e)-2 (A c d+a B e))-\left (2 b c d-3 b^2 e+8 a c e\right ) \left (b^2 e (3 B d-5 A e)+8 c \left (A c d^2-a B d e+2 a A e^2\right )-2 b \left (2 B c d^2+A c d e-a B e^2\right )\right )\right )+\frac{1}{2} c e \left (6 c e (b d-2 a e) (b B d-2 A c d+A b e-2 a B e)+(2 c d-b e) \left (b^2 e (3 B d-5 A e)+8 c \left (A c d^2-a B d e+2 a A e^2\right )-2 b \left (2 B c d^2+A c d e-a B e^2\right )\right )\right ) x}{(d+e x)^2 \sqrt{a+b x+c x^2}} \, dx}{3 \left (b^2-4 a c\right )^2 \left (c d^2-b d e+a e^2\right )^2}\\ &=\frac{2 \left (a B (2 c d-b e)-A \left (b c d-b^2 e+2 a c e\right )+c (b B d-2 A c d+A b e-2 a B e) x\right )}{3 \left (b^2-4 a c\right ) \left (c d^2-b d e+a e^2\right ) (d+e x) \left (a+b x+c x^2\right )^{3/2}}+\frac{2 \left (6 a c e (2 c d-b e) (b B d-2 A c d+A b e-2 a B e)+\left (b c d-b^2 e+2 a c e\right ) \left (b^2 e (3 B d-5 A e)+8 c \left (A c d^2-a B d e+2 a A e^2\right )-2 b \left (2 B c d^2+A c d e-a B e^2\right )\right )+c \left (6 c e (b d-2 a e) (b B d-2 A c d+A b e-2 a B e)+(2 c d-b e) \left (b^2 e (3 B d-5 A e)+8 c \left (A c d^2-a B d e+2 a A e^2\right )-2 b \left (2 B c d^2+A c d e-a B e^2\right )\right )\right ) x\right )}{3 \left (b^2-4 a c\right )^2 \left (c d^2-b d e+a e^2\right )^2 (d+e x) \sqrt{a+b x+c x^2}}+\frac{e \left (3 b^4 e^3 (3 B d-5 A e)-2 b^3 e^2 \left (9 B c d^2-10 A c d e-3 a B e^2\right )+4 b^2 c e \left (10 B c d^3+3 A c d^2 e-14 a B d e^2+25 a A e^3\right )-16 c^2 \left (a B d e \left (2 c d^2-13 a e^2\right )-A \left (2 c^2 d^4+9 a c d^2 e^2-8 a^2 e^4\right )\right )-8 b c \left (2 A c d e \left (4 c d^2+9 a e^2\right )+B \left (2 c^2 d^4+3 a c d^2 e^2+5 a^2 e^4\right )\right )\right ) \sqrt{a+b x+c x^2}}{3 \left (b^2-4 a c\right )^2 \left (c d^2-b d e+a e^2\right )^3 (d+e x)}-\frac{\left (e^3 \left (8 B c d^2-B e (3 b d+2 a e)-5 A e (2 c d-b e)\right )\right ) \int \frac{1}{(d+e x) \sqrt{a+b x+c x^2}} \, dx}{2 \left (c d^2-b d e+a e^2\right )^3}\\ &=\frac{2 \left (a B (2 c d-b e)-A \left (b c d-b^2 e+2 a c e\right )+c (b B d-2 A c d+A b e-2 a B e) x\right )}{3 \left (b^2-4 a c\right ) \left (c d^2-b d e+a e^2\right ) (d+e x) \left (a+b x+c x^2\right )^{3/2}}+\frac{2 \left (6 a c e (2 c d-b e) (b B d-2 A c d+A b e-2 a B e)+\left (b c d-b^2 e+2 a c e\right ) \left (b^2 e (3 B d-5 A e)+8 c \left (A c d^2-a B d e+2 a A e^2\right )-2 b \left (2 B c d^2+A c d e-a B e^2\right )\right )+c \left (6 c e (b d-2 a e) (b B d-2 A c d+A b e-2 a B e)+(2 c d-b e) \left (b^2 e (3 B d-5 A e)+8 c \left (A c d^2-a B d e+2 a A e^2\right )-2 b \left (2 B c d^2+A c d e-a B e^2\right )\right )\right ) x\right )}{3 \left (b^2-4 a c\right )^2 \left (c d^2-b d e+a e^2\right )^2 (d+e x) \sqrt{a+b x+c x^2}}+\frac{e \left (3 b^4 e^3 (3 B d-5 A e)-2 b^3 e^2 \left (9 B c d^2-10 A c d e-3 a B e^2\right )+4 b^2 c e \left (10 B c d^3+3 A c d^2 e-14 a B d e^2+25 a A e^3\right )-16 c^2 \left (a B d e \left (2 c d^2-13 a e^2\right )-A \left (2 c^2 d^4+9 a c d^2 e^2-8 a^2 e^4\right )\right )-8 b c \left (2 A c d e \left (4 c d^2+9 a e^2\right )+B \left (2 c^2 d^4+3 a c d^2 e^2+5 a^2 e^4\right )\right )\right ) \sqrt{a+b x+c x^2}}{3 \left (b^2-4 a c\right )^2 \left (c d^2-b d e+a e^2\right )^3 (d+e x)}+\frac{\left (e^3 \left (8 B c d^2-B e (3 b d+2 a e)-5 A e (2 c d-b e)\right )\right ) \operatorname{Subst}\left (\int \frac{1}{4 c d^2-4 b d e+4 a e^2-x^2} \, dx,x,\frac{-b d+2 a e-(2 c d-b e) x}{\sqrt{a+b x+c x^2}}\right )}{\left (c d^2-b d e+a e^2\right )^3}\\ &=\frac{2 \left (a B (2 c d-b e)-A \left (b c d-b^2 e+2 a c e\right )+c (b B d-2 A c d+A b e-2 a B e) x\right )}{3 \left (b^2-4 a c\right ) \left (c d^2-b d e+a e^2\right ) (d+e x) \left (a+b x+c x^2\right )^{3/2}}+\frac{2 \left (6 a c e (2 c d-b e) (b B d-2 A c d+A b e-2 a B e)+\left (b c d-b^2 e+2 a c e\right ) \left (b^2 e (3 B d-5 A e)+8 c \left (A c d^2-a B d e+2 a A e^2\right )-2 b \left (2 B c d^2+A c d e-a B e^2\right )\right )+c \left (6 c e (b d-2 a e) (b B d-2 A c d+A b e-2 a B e)+(2 c d-b e) \left (b^2 e (3 B d-5 A e)+8 c \left (A c d^2-a B d e+2 a A e^2\right )-2 b \left (2 B c d^2+A c d e-a B e^2\right )\right )\right ) x\right )}{3 \left (b^2-4 a c\right )^2 \left (c d^2-b d e+a e^2\right )^2 (d+e x) \sqrt{a+b x+c x^2}}+\frac{e \left (3 b^4 e^3 (3 B d-5 A e)-2 b^3 e^2 \left (9 B c d^2-10 A c d e-3 a B e^2\right )+4 b^2 c e \left (10 B c d^3+3 A c d^2 e-14 a B d e^2+25 a A e^3\right )-16 c^2 \left (a B d e \left (2 c d^2-13 a e^2\right )-A \left (2 c^2 d^4+9 a c d^2 e^2-8 a^2 e^4\right )\right )-8 b c \left (2 A c d e \left (4 c d^2+9 a e^2\right )+B \left (2 c^2 d^4+3 a c d^2 e^2+5 a^2 e^4\right )\right )\right ) \sqrt{a+b x+c x^2}}{3 \left (b^2-4 a c\right )^2 \left (c d^2-b d e+a e^2\right )^3 (d+e x)}-\frac{e^3 \left (8 B c d^2-B e (3 b d+2 a e)-5 A e (2 c d-b e)\right ) \tanh ^{-1}\left (\frac{b d-2 a e+(2 c d-b e) x}{2 \sqrt{c d^2-b d e+a e^2} \sqrt{a+b x+c x^2}}\right )}{2 \left (c d^2-b d e+a e^2\right )^{7/2}}\\ \end{align*}

Mathematica [A]  time = 6.00364, size = 754, normalized size = 1.01 \[ \frac{2 \left (\frac{e \sqrt{a+x (b+c x)} \left (-8 b c \left (B \left (5 a^2 e^4+3 a c d^2 e^2+2 c^2 d^4\right )+2 A c d e \left (9 a e^2+4 c d^2\right )\right )+16 c^2 \left (A \left (-8 a^2 e^4+9 a c d^2 e^2+2 c^2 d^4\right )+a B d e \left (13 a e^2-2 c d^2\right )\right )+2 b^3 e^2 \left (3 a B e^2+10 A c d e-9 B c d^2\right )+4 b^2 c e \left (25 a A e^3-14 a B d e^2+3 A c d^2 e+10 B c d^3\right )+3 b^4 e^3 (3 B d-5 A e)\right )}{2 \left (b^2-4 a c\right ) (d+e x) \left (e (a e-b d)+c d^2\right )^2}+\frac{-4 b c \left (A c \left (a e^2 (9 d-7 e x)+2 c d^2 (d-3 e x)\right )-B \left (-4 a^2 e^3+a c d e (d+3 e x)+2 c^2 d^3 x\right )\right )-8 c^2 \left (a^2 e^2 (4 A e-5 B d+3 B e x)-a c d e (A d-7 A e x+2 B d x)+2 A c^2 d^3 x\right )+2 b^2 c \left (16 a A e^3+a B e^2 (e x-5 d)+A c d e (5 d+e x)+2 B c d^2 (d-4 e x)\right )+b^3 e \left (2 a B e^2+A c e (3 d-5 e x)+B c d (3 e x-7 d)\right )+b^4 e^2 (3 B d-5 A e)}{\left (b^2-4 a c\right ) (d+e x) \sqrt{a+x (b+c x)} \left (e (b d-a e)-c d^2\right )}+\frac{3 e^3 \left (b^2-4 a c\right ) \left (-B e (2 a e+3 b d)+5 A e (b e-2 c d)+8 B c d^2\right ) \tanh ^{-1}\left (\frac{2 a e-b d+b e x-2 c d x}{2 \sqrt{a+x (b+c x)} \sqrt{e (a e-b d)+c d^2}}\right )}{4 \left (e (a e-b d)+c d^2\right )^{5/2}}+\frac{-2 A c (a e+c d x)+a B (2 c (d-e x)-b e)+A b^2 e+A b c (e x-d)+b B c d x}{(d+e x) (a+x (b+c x))^{3/2}}\right )}{3 \left (b^2-4 a c\right ) \left (e (a e-b d)+c d^2\right )} \]

Antiderivative was successfully verified.

[In]

Integrate[(A + B*x)/((d + e*x)^2*(a + b*x + c*x^2)^(5/2)),x]

[Out]

(2*((e*(3*b^4*e^3*(3*B*d - 5*A*e) + 2*b^3*e^2*(-9*B*c*d^2 + 10*A*c*d*e + 3*a*B*e^2) + 4*b^2*c*e*(10*B*c*d^3 +
3*A*c*d^2*e - 14*a*B*d*e^2 + 25*a*A*e^3) + 16*c^2*(a*B*d*e*(-2*c*d^2 + 13*a*e^2) + A*(2*c^2*d^4 + 9*a*c*d^2*e^
2 - 8*a^2*e^4)) - 8*b*c*(2*A*c*d*e*(4*c*d^2 + 9*a*e^2) + B*(2*c^2*d^4 + 3*a*c*d^2*e^2 + 5*a^2*e^4)))*Sqrt[a +
x*(b + c*x)])/(2*(b^2 - 4*a*c)*(c*d^2 + e*(-(b*d) + a*e))^2*(d + e*x)) + (A*b^2*e + b*B*c*d*x - 2*A*c*(a*e + c
*d*x) + A*b*c*(-d + e*x) + a*B*(-(b*e) + 2*c*(d - e*x)))/((d + e*x)*(a + x*(b + c*x))^(3/2)) + (b^4*e^2*(3*B*d
- 5*A*e) + 2*b^2*c*(16*a*A*e^3 + 2*B*c*d^2*(d - 4*e*x) + a*B*e^2*(-5*d + e*x) + A*c*d*e*(5*d + e*x)) + b^3*e*
(2*a*B*e^2 + A*c*e*(3*d - 5*e*x) + B*c*d*(-7*d + 3*e*x)) - 8*c^2*(2*A*c^2*d^3*x - a*c*d*e*(A*d + 2*B*d*x - 7*A
*e*x) + a^2*e^2*(-5*B*d + 4*A*e + 3*B*e*x)) - 4*b*c*(A*c*(a*e^2*(9*d - 7*e*x) + 2*c*d^2*(d - 3*e*x)) - B*(-4*a
^2*e^3 + 2*c^2*d^3*x + a*c*d*e*(d + 3*e*x))))/((b^2 - 4*a*c)*(-(c*d^2) + e*(b*d - a*e))*(d + e*x)*Sqrt[a + x*(
b + c*x)]) + (3*(b^2 - 4*a*c)*e^3*(8*B*c*d^2 - B*e*(3*b*d + 2*a*e) + 5*A*e*(-2*c*d + b*e))*ArcTanh[(-(b*d) + 2
*a*e - 2*c*d*x + b*e*x)/(2*Sqrt[c*d^2 + e*(-(b*d) + a*e)]*Sqrt[a + x*(b + c*x)])])/(4*(c*d^2 + e*(-(b*d) + a*e
))^(5/2))))/(3*(b^2 - 4*a*c)*(c*d^2 + e*(-(b*d) + a*e)))

________________________________________________________________________________________

Maple [B]  time = 0.018, size = 6675, normalized size = 9. \begin{align*} \text{output too large to display} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

int((B*x+A)/(e*x+d)^2/(c*x^2+b*x+a)^(5/2),x)

[Out]

result too large to display

________________________________________________________________________________________

Maxima [F(-2)]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \text{Exception raised: ValueError} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((B*x+A)/(e*x+d)^2/(c*x^2+b*x+a)^(5/2),x, algorithm="maxima")

[Out]

Exception raised: ValueError

________________________________________________________________________________________

Fricas [F(-1)]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \text{Timed out} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((B*x+A)/(e*x+d)^2/(c*x^2+b*x+a)^(5/2),x, algorithm="fricas")

[Out]

Timed out

________________________________________________________________________________________

Sympy [F(-1)]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \text{Timed out} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((B*x+A)/(e*x+d)**2/(c*x**2+b*x+a)**(5/2),x)

[Out]

Timed out

________________________________________________________________________________________

Giac [F(-1)]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \text{Timed out} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((B*x+A)/(e*x+d)^2/(c*x^2+b*x+a)^(5/2),x, algorithm="giac")

[Out]

Timed out